[선형대수] 3일차 - LU 분할

※ 이 글은 한양대학교 이상화교수님의 선형대수 유튜브 강의를 보며 정리한 글입니다. 잘못 이해한 부분이 있을 수도 있으니 많은 피드백 부탁드리겠습니다. 감사합니다. [유튜브 바로가기]

복습 내용

학습할 내용

1.4 中 Elementary Matrix

가우스 소거법 중 연립방정식을 이루는 각 식에 상수를 곱하고 더하거나 빼서 어떤 계수를 소거하는 단계들이 가우스 소거법을 완료할 때까지 계속된다. 이 각각의 단계들을 행렬로 표현하는 방법을 배울 것이다. 이 방법에서 Elementary Matrix가 소개된다.

1.5 中 Triangular Factors과 LU Factorization

처음 연립방정식을 행렬 A로 표현할 때, 이 A에 대해 가우스소거법을 계속 수행하여 U(Upper Triangular Matrix)를 만들 수 있었다. 위 Elementary Matrix의 Inverse들을 이 U행렬에 곱하여 행렬 A를 만들 수 있게 되는데, 이 때 Elementary Matrix의 Inverse들을 하나의 행렬로 표현할 수 있다. 이 행렬을 L(Lower Triangular Matrix)이라고 부르도록 한다. 따라서 행렬식 A = LU으로 표현할 수 있고, 행렬A를 행렬 L과 행렬U로 분할했다고 해서 LU Factorization, 또는 LU Decomposition이라고 한다.

 

여기서 행렬 A를 어떠한 미지의 system으로 볼 때, 이 시스템을 결정짓는 것보다 L과 U를 결정지어 최종적으로 미지의 system A를 알아낼 수 있는 관점을 제시했다. 또한 L과 U로 분할하게 되면서 수월해진 점이 여러가지 있다고 한다. 예를 들면, determinant(행렬식)을 L과 U 각각의 determinant의 곱으로 구할 수 있게 된다. 수월한 이유로는 행렬U의 determinant는 한쪽 diagonal(대각) element들의 곱들의 합으로 구할 수 있기 때문이다.

1.5 中 Diagonal Matrix

여기서 행렬U에서 Diagonal Matrix를 빼줌으로써 행렬U를 다시 DU'로 나타낼 수 있게 된다. 여기서 Diagonal Matrix란 digonal element(주대각성분)을 제외한 다른 성분들은 전부 0인 행렬이다. 이 행렬과 U'이라는 upper triangular matrix로 U를 분할할 수 있게 된다. 따라서 행렬 A를 A = LDU로 표현할 수 있다. 

 

행렬 U'은 행렬U에서 diagonal matrix를 빼서 나온 matrix이다. 따라서 이 U'은 diagonal element들이 모두 1인 형태를 갖는다. 이 행렬 U'을 구하는 방법도 배웠다.

1.5 中 One to one Mapping

교수님의 설명으로는 LU Factorization은 1:1 대칭이라고 하신다. 즉 행렬 A가 주어진다면, 이 행렬 A가 singular case(해가 없거나 무한대인 경우)가 아닌 이상 단 하나의 LU 쌍이 존재(uniqueness)한다는 것이다. 하지만 댓글에서 추가로 말하길, LU factorization은 기본적으로 1:1 대칭은 아니지만, 행렬 L 또는 행렬 U 에서 diagonal element들이 전부 1이라면 1:1 대칭을 만족한다고 한다. 이 수업에서는 LU를 전부 1인 것을 살펴봤지만 1이 아닌것이 있는지는 아직 잘 모르겠다. 여기서 중요한 점은 Linear System에서는 one to one mapping 관계, 즉 unique하다는 것이 중요하다는 것이다.

1.5 中 Row Exchange (Pivoting)

바로 위에서는 가우스소거법의 과정 중 소거하는 단계를 행렬로 나타내는 방법을 배웠다. 여기서 가우스 소거법 전체 과정을 행렬로 나타내는 방법을 배우려고 하기 때문에 또한가지의 과정, pivoting에 대해서 행렬로 나타내는 방법을 배웠다. 행렬 P(Permutation)가 등장하였고, 1열과 2열을 바꾸는 과정을 \(P_{21}\)로 표시한다. 보통 \(P_{12}\)대신 \(P_{21}\)로 표기한다고 한다. 따라서 PA = LU가 성립한다. 이 때, 행렬 P는 \(P^{-1} = P^T\)가 성립하므로 \(A = P^TLU\)가 성립한다.