[선형대수] 6일차 - 영벡터공간과 해집합

※ 이 글은 한양대학교 이상화교수님의 선형대수 유튜브 강의를 보며 정리한 글입니다. 잘못 이해한 부분이 있을 수도 있으니 많은 피드백 부탁드리겠습니다. 감사합니다. [유튜브 바로가기]

복습 내용

Vector Space

다음 3가지 조건을 만족하는 벡터들의 집합을 vector space 라고 한다.

1. 덧셈에 대해 닫혀 있다. \(\rightarrow v_1 \in \mathbb{V}, v_2 \in \mathbb{V} \Rightarrow v_1+v_2 \in \mathbb{V}\)
2. 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다. \(\rightarrow v_1 \in \mathbb{V}, c \in R \Rightarrow cv \in \mathbb{V}\)
3. 위 2번 조건에서 파생된 조건으로, vector space는 반드시 영벡터를 포함한다.

Column Space

기호로는 \(\mathbb{C}(A)\)를 사용하며, 행렬을 column vector들의 모임이라고 생각할 수 있다는 것을 상기하는 것에서부터 시작한다.

Column Space : 행렬 A의 column vector들로 만들어질 수 있는 선형결합들의 집합

집합기호로 나타내면 다음과 같다.
$$
\{X \mid X = \sum_{i=1}^n c_ia_i\}, A = \begin{bmatrix}a_1 &a_2 &\cdots &a_n \end{bmatrix}
$$

학습할 내용

2.1 中 영벡터공간

위 복습내용 중 Vector Space의 3번째 조건을 살펴보자. vector space가 되기 위해선 곱해지는 모든 실수 C에 대해 닫혀 있어야한다. 즉, c가 0일 때도 위 Vector Space가 되기 위한 2번째 조건은 만족해야 하며, c가 0일 때 좌항은 영벡터가 되므로 이에 따라 vector space \(\mathbb{V}\)는 영벡터를 포함해야 한다는 조건이 파생되게 된다.

영벡터공간 : \(\mathbb{V} = \{0\}\)
이 또한 덧셈에 닫혀 있고, 스칼라 곱에 닫혀있으므로 vector space 이다.

2.1 中 Column Space로 본 Ax = b 일차방정식

TODO: 이부분은 다시 영상을 보고 정리해보도록 하자.

\(\rightarrow\) 정리 완료
 
Ax = b (b != 0)

$$
\begin{bmatrix}
a_1 &a_2 &\cdots &a_n
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix} = b
$$ 위와 같은 연립방정식이 있다고 하자. 위 식은 다음과 같이 선형결합의 형태로 나타낼 수 있다.

$$
x_1a_2 + x_2a_2 + \cdots + x_na_n = b
$$ 여기서 알 수 있는 것은, vector b는 행렬 A의 선형결합 중 하나로 나온다는 것이다. 이를 Column Space를 이용해서 설명하자면, vector b가 행렬 A의 Column Space에 포함된다면, 적어도 하나의 해가 존재한다.

바꿔말하면, vector b가 행렬 A의 Column Space에 포함되지 않는다면, 이 연립방정식은 해가 없다. 즉, 가우스 소거법이던지 Gauss-Jordan Method라던지 하는 것들을 시도조차 하지 않아도 해가 없다는 것을 알 수 있는 방법이다.
 
정리

1. Ax = b꼴의 1차연립방정식에서 vector b가 column space에 포함된다면 해가 존재하고, 그렇지 않다면 해가 존재하지 않는다.
2. Ax = b꼴의 1차연립방정식에서 행렬 A의 역행렬이 존재할 경우에, vector x는 항상 unique하게 결정된다. 이는 \(x = A^{-1}b\)로 나타낼 수 있고, 이 A의 역행렬은 unique하기 때문에 x 또한 unique 하게 된다.
3. 이는 vector b가 무엇이던 간에 x는 unique하게 결정된다는 뜻이다.
4. 즉, 행렬 A 의 역행렬이 존재한다면, 어느 vector b라도 행렬 A의 column space에 포함된다는 뜻이고, 다시 말하자면 행렬 A의 column space는 vector space의 차원을 모두 span한다는 뜻이다. (span whole space)
5. span의 결과가 whole spce를 만들어내는지 아닌지는 A의 역행렬이 존재하느냐 아니냐에 따라 결정된다.

5번의 추가 설명
Span : 가능한 Linear Combination들
→ 행렬 A의 linear combination으로 만들 수 있는 모든 벡터가 whole space를 구성한다는 뜻
→ 행렬 A의 column space가 whole space를 span한다는 뜻

2.1 中 Null Space

행렬 A의 4가지 subspace 중 한가지인 null space에 대해 살펴봤다. 이 null space는 표기로는 \(\mathbb{N}(A)\) 로 쓰고, 정의는 다음과 같다.

Set of vectors such that Ax = 0(zero-vector)
$$
\mathbb{N}(A) = \{x\mid Ax = 0\}
$$ 즉, 1차 연립방정식에서 행렬 A에 대해 zero vector가 되게 하기 위한 해집합 vector x를 의미한다. 이 null space 또한 vector space이므로 위 vector space가 되기 위한 3가지 조건을 만족한다. 다시 한번 써보자면,

1. 덧셈에 대해 닫혀 있다.
2. 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다.
3. 영벡터를 항상 포함한다.

의 성질을 모두 만족한다는 뜻이다.

2.1 中 Null Space의 성질

2.2 中 Solving Ax = 0

이전에도 언급했다싶이, 2장의 주요 관심사는 행렬 A가 Rectangular Matrix일 경우라고 했다. 그 중에서 식의 개수보다 변수의 수가 더 많은 case를 2장에서 주로 다룬다고 했었다. 이들을 푸는 전형적인 방식을 살펴보려 한다.

• Echelon Form U (교과서에는 REF, Row Echelon Form 이라고 명칭)
• Row Reduced Form R (교과서에는 RREF, Row Reduced Echelon Form 이라고 명칭)
• pivot variable과 free variable
• special solution